Macierze i układy równań

Wzory Cramera (układ równań 2×2)

Rozwiązanie układu równań a₁x + b₁y = c₁ oraz a₂x + b₂y = c₂ metodą wyznaczników.

$$x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}, \quad W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$

$x$: Niewiadoma x
$y$: Niewiadoma y
$(x,y)$: Pełne rozwiązanie układu
$a_1$: Współczynnik a₁
$b_1$: Współczynnik b₁
$c_1$: Wyraz wolny c₁
$a_2$: Współczynnik a₂
$b_2$: Współczynnik b₂
$c_2$: Wyraz wolny c₂

Kalkulator

Wybierz, co chcesz obliczyć, i podaj pozostałe wartości.

$x$ Niewiadoma x

$y$ Niewiadoma y

$(x,y)$ Pełne rozwiązanie układu

$a_1$ Współczynnik a₁

$b_1$ Współczynnik b₁

$c_1$ Wyraz wolny c₁

$a_2$ Współczynnik a₂

$b_2$ Współczynnik b₂

$c_2$ Wyraz wolny c₂

Wszystkie warianty wzoru

Ten sam wzór przekształcony tak, by wyznaczyć każdą zmienną.

Niewiadoma x $$x = \frac{W_x}{W} = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$
Niewiadoma y $$y = \frac{W_y}{W} = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$
Pełne rozwiązanie układu $$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$$

Gdy W ≠ 0, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy W = 0, kalkulator sprawdza zgodność obu równań: pokazuje brak rozwiązań albo parametryczny zbiór par (x, y). Dwie tożsamości 0 = 0 dopuszczają każdą parę liczb rzeczywistych. Wariant „Pełne rozwiązanie układu” pokazuje jednocześnie parę (x,y), a przy nieoznaczoności wspólną parametryzację.

Przykład. Dla $a_1 = 2$, $b_1 = 3$, $c_1 = 8$, $a_2 = 1$, $b_2 = -1$, $c_2 = -1$ otrzymujemy $x = 1$.

Kalkulator

Wszystkie warianty wzoru

Sprawdź się

Zobacz też w tej kategorii