Wszystkie wzory

$$l_a=\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}$$ Dwusieczna trójkąta $$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$$ Długość łuku okręgu $$\beta=\frac\alpha2$$ Kąt wpisany i środkowy $$\alpha=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$$ Kąty wielokąta foremnego $$p = \frac{n(n-3)}{2}$$ Liczba przekątnych wielokąta $$L \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$ Obwód elipsy (przybliżenie Ramanujana) $$L = 2\pi r$$ Obwód koła (długość okręgu) $$L = 4a$$ Obwód kwadratu $$L = 2(a + b)$$ Obwód prostokąta $$L = 4a$$ Obwód rombu $$L = 2(a + b)$$ Obwód równoległoboku $$L = a + b + c + d$$ Obwód trapezu $$L = a + b + c$$ Obwód trójkąta $$m=\frac a2$$ Odcinek środkowy trójkąta $$P = \frac{e \cdot f}{2}$$ Pole deltoidu (latawca) $$P = \pi a b$$ Pole elipsy $$P = \pi r^2$$ Pole koła $$P = a^2$$ Pole kwadratu $$P = \frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi\alpha}{180^\circ} - \sin\alpha\right)$$ Pole odcinka koła $$P = \pi\left(R^2 - r^2\right)$$ Pole pierścienia kołowego $$P = a \cdot b$$ Pole prostokąta $$P = \frac{e \cdot f}{2}$$ Pole rombu (z przekątnych) $$P = a \cdot h$$ Pole równoległoboku $$P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$ Pole sześciokąta foremnego $$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$ Pole trapezu $$P = \frac{a \cdot h}{2}$$ Pole trójkąta $$P = \frac{a \cdot b}{2}$$ Pole trójkąta prostokątnego $$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Pole trójkąta równobocznego $$P = \frac{n a^2}{4\tan\frac{\pi}{n}}$$ Pole wielokąta foremnego $$P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ Pole wycinka koła $$R=\frac{a}{2\sin(180^\circ/n)}$$ Promienie wielokąta foremnego $$R = \frac{abc}{4P}$$ Promień okręgu opisanego na trójkącie $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym $$r = \frac{2P}{a+b+c}$$ Promień okręgu wpisanego w trójkąt $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $$d = a\sqrt{2}$$ Przekątna kwadratu $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Przekątna prostokąta $$S = (n - 2) \cdot 180^\circ$$ Suma kątów wielokąta $$b=a\sqrt3$$ Trójkąt 30°–60°–90° $$c=a\sqrt2$$ Trójkąt 45°–45°–90° $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ Twierdzenie Talesa $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Wysokość trójkąta równobocznego $$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$ Wzór Herona $$d = 2r$$ Średnica koła $$m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}$$ Środkowa trójkąta

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Kula opisana na sześcianie $$r = \frac{a}{2}$$ Kula wpisana w sześcian $$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$ Objętość czworościanu foremnego $$V = P_p \cdot h$$ Objętość graniastosłupa $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$ Objętość kuli $$V = \frac{1}{3} P_p \cdot h$$ Objętość ostrosłupa $$V = a \cdot b \cdot c$$ Objętość prostopadłościanu $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$ Objętość stożka $$V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$$ Objętość stożka ściętego $$V = a^3$$ Objętość sześcianu $$V = \pi r^2 h$$ Objętość walca $$P_b = \pi r l$$ Pole powierzchni bocznej stożka $$P_b = 2\pi r h$$ Pole powierzchni bocznej walca $$P = a^2\sqrt{3}$$ Pole powierzchni czworościanu foremnego $$P = 2P_p + P_b$$ Pole powierzchni graniastosłupa $$P = 4\pi r^2$$ Pole powierzchni kuli $$P = 2(ab + bc + ac)$$ Pole powierzchni prostopadłościanu $$P = \pi r (r + l)$$ Pole powierzchni stożka $$P = \pi\left[R^2 + r^2 + l(R+r)\right]$$ Pole powierzchni stożka ściętego $$P = 6a^2$$ Pole powierzchni sześcianu $$P = 2\pi r (r + h)$$ Pole powierzchni walca $$P_w=2rh$$ Przekroje osiowe walca i stożka $$r=\sqrt{R^2-d^2}$$ Przekrój kuli płaszczyzną $$r=\frac{Rz}{H}$$ Przekrój stożka równoległy do podstawy $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$ Przekątna prostopadłościanu $$d = a\sqrt{3}$$ Przekątna sześcianu $$V=\pi(R^2-r^2)h$$ Rura walcowa $$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$ Tworząca stożka $$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$$ Tworząca stożka ściętego $$V=\pi r^2h+\frac{\pi r^2H}{3}$$ Walec ze stożkiem

$$\Delta = b^2 - 4ac$$ Delta (wyróżnik trójmianu) $$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}$$ Działania na ułamkach $$y = ax + b$$ Funkcja liniowa $$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$$ Iloczyn i iloraz pierwiastków $$a^m a^n=a^{m+n}$$ Iloczyn potęg o tej samej podstawie $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ Iloraz potęg o tej samej podstawie $$y=x\left(1+\frac p{100}\right)\left(1+\frac q{100}\right)$$ Kolejne zmiany procentowe $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ Kwadrat różnicy (wzór skróconego mnożenia) $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ Kwadrat sumy (wzór skróconego mnożenia) $$w+\frac ab=\frac{wb+a}{b}$$ Liczba mieszana na ułamek $$y = \log_a x \iff a^y = x$$ Logarytm $$\operatorname{NWW}(a,b)$$ Najmniejsza wspólna wielokrotność $$\operatorname{NWD}(a,b)$$ Największy wspólny dzielnik $$ax^2+bx+c<0$$ Nierówność kwadratowa $$ax+b<0$$ Nierówność liniowa $$|ax+b| Nierówność z wartością bezwzględną $$d=|b-a|$$ Odległość na osi liczbowej $$y=\sqrt[n]{a}$$ Pierwiastek n-tego stopnia $$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ Pierwiastki równania kwadratowego $$(ab)^n=a^nb^n$$ Potęga iloczynu $$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$ Potęga ilorazu $$a^{-n}=\frac1{a^n}$$ Potęga o wykładniku ujemnym $$(a^m)^n=a^{mn}$$ Potęga potęgi $$y = a^n$$ Potęgowanie $$w = \frac{p}{100} \cdot x$$ Procent z liczby $$\frac ab=\frac cd$$ Proporcja $$y=\frac kx$$ Proporcjonalność odwrotna $$y=kx$$ Proporcjonalność prosta $$\log_b(ax+c)=d$$ Proste równanie logarytmiczne $$b^{ax+c}=d$$ Proste równanie wykładnicze $$\frac{ax+b}{cx+d}=k$$ Proste równanie wymierne $$\Delta=p_2-p_1$$ Punkty procentowe $$n=\pm p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$$ Rozkład na czynniki pierwsze $$ax+b=0$$ Równanie liniowe $$|ax+b|=c$$ Równanie z wartością bezwzględną $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$ Różnica kwadratów $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$ Różnica sześcianów $$l=kl_0,\quad P=k^2P_0,\quad V=k^3V_0$$ Skala długości, pól i objętości $$L=nl$$ Skala mapy 1:n $$\frac ab=\frac{a/\operatorname{NWD}(|a|,|b|)}{b/\operatorname{NWD}(|a|,|b|)}$$ Skracanie ułamka $$d\mid n\iff n=dq,\ q\in\mathbb Z$$ Sprawdzanie podzielności $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$ Suma sześcianów $$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ Sześcian różnicy (wzór skróconego mnożenia) $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ Sześcian sumy (wzór skróconego mnożenia) $$\frac ab=w+\frac rb$$ Ułamek na liczbę mieszaną $$|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}$$ Wartość bezwzględna $$p = \frac{-b}{2a}, \quad q = \frac{-\Delta}{4a}$$ Wierzchołek paraboli $$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$ Wzory Viète'a $$z = \frac{b - a}{a} \cdot 100\%$$ Zmiana procentowa $$A = \frac{a + b}{2}$$ Średnia arytmetyczna $$G = \sqrt{a \cdot b}$$ Średnia geometryczna

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$ Cosinus podwojonego kąta $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ Cosinus sumy kątów $$\cos \alpha = \frac{b}{c}$$ Cosinus w trójkącie prostokątnym $$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$$ Jedynka trygonometryczna - oba znaki $$\sin x=u$$ Podstawowe równania trygonometryczne $$P = \frac{1}{2} a b \sin\gamma$$ Pole trójkąta z sinusem $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ Sinus podwojonego kąta $$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ Sinus sumy kątów $$\sin \alpha = \frac{a}{c}$$ Sinus w trójkącie prostokątnym $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa $$\tan \alpha = \frac{a}{b}$$ Tangens w trójkącie prostokątnym $$c^2 = a^2 + b^2$$ Twierdzenie Pitagorasa $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$ Twierdzenie cosinusów $$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$ Twierdzenie sinusów $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$ Wzory redukcyjne $$x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$$ Zamiana stopni na radiany

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$ Ciąg arytmetyczny - n-ty wyraz $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$ Ciąg geometryczny - n-ty wyraz $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ Suma ciągu arytmetycznego $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$ Suma ciągu geometrycznego $$S = \frac{n(n+1)}{2}$$ Suma liczb od 1 do n $$S = \frac{a_1}{1 - q}$$ Suma szeregu geometrycznego

$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Długość wektora $$\vec{u} \circ \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$ Iloczyn skalarny wektorów $$\cos\varphi = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Kąt między wektorami $$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ Odległość między punktami $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Odległość punktu od prostej $$P = \frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1) - (x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|$$ Pole trójkąta o danych wierzchołkach $$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad b = y_1 - a x_1$$ Prosta przez dwa punkty $$a_1 \cdot a_2 = -1$$ Prostopadłość prostych $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ Równanie okręgu $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ Współczynnik kierunkowy prostej $$S = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$ Środek ciężkości trójkąta $$S = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$ Środek odcinka

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Kombinacje (symbol Newtona) $$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$$ Kombinacje z powtórzeniami $$P_n = n!$$ Permutacje $$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)$$ Prawdopodobieństwo całkowite $$P(A) = \frac{k}{n}$$ Prawdopodobieństwo klasyczne $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Prawdopodobieństwo warunkowe $$P(A') = 1 - P(A)$$ Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $$P_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Schemat Bernoulliego $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ Silnia $$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$$ Twierdzenie Bayesa $$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$ Wariacje bez powtórzeń $$W_n^k = n^k$$ Wariacje z powtórzeniami

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ Gęstość rozkładu normalnego $$\sigma = \sqrt{\frac{(a-\bar{x})^2 + (b-\bar{x})^2 + (c-\bar{x})^2}{3}}$$ Odchylenie standardowe $$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$ Rozkład Poissona $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ Standaryzacja (z-score) $$\sigma^2 = \frac{(a-\bar{x})^2 + (b-\bar{x})^2 + (c-\bar{x})^2}{3}$$ Wariancja $$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$$ Wartość oczekiwana $$E(X) = np, \quad D^2(X) = np(1-p)$$ Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu dwumianowego $$V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\%$$ Współczynnik zmienności $$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2}{w_1 + w_2}$$ Średnia ważona

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ Całka nieoznaczona z xⁿ $$\int_a^b x^n\,dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$$ Całka oznaczona z xⁿ (pole pod wykresem) $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ Granica prowadząca do liczby e $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Iloraz różnicowy $$(\cos x)' = -\sin x$$ Pochodna cosinusa $$f(x) = x^n \implies f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$ Pochodna funkcji potęgowej $$(e^x)' = e^x$$ Pochodna funkcji wykładniczej eˣ $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$ Pochodna logarytmu naturalnego $$(\sin x)' = \cos x$$ Pochodna sinusa $$f'(x) = 2ax + b$$ Pochodna trójmianu kwadratowego $$y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$$ Styczna do wykresu funkcji

$$\tan\varphi = \frac{b}{a}$$ Argument liczby zespolonej $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i$$ Dzielenie liczb zespolonych $$z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$ Mnożenie liczb zespolonych $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Moduł liczby zespolonej $$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 360^\circ k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 360^\circ k}{n}\right)$$ Pierwiastki liczby zespolonej $$x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \mathrm{Re} \pm i\,\mathrm{Im}$$ Pierwiastki zespolone równania kwadratowego $$z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)$$ Postać trygonometryczna liczby zespolonej $$z^n = |z|^n\left(\cos n\varphi + i\sin n\varphi\right)$$ Wzór de Moivre'a

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ Macierz odwrotna 2×2 $$AB = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$$ Mnożenie macierzy 2×2 $$\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$ Wyznacznik macierzy 2×2 $$\det A = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$ Wyznacznik macierzy 3×3 (reguła Sarrusa) $$x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}, \quad W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$ Wzory Cramera (układ równań 2×2)

$$B = N \left(1 + \frac{v}{100}\right)$$ Cena brutto i netto (VAT) $$m = \frac{C - Z}{C} \cdot 100\%$$ Marża $$O = \frac{K \cdot r \cdot t}{100}$$ Odsetki proste $$K = K_0 \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$$ Procent składany $$R = K \cdot \frac{q^n(q-1)}{q^n - 1}, \quad q = 1 + \frac{r}{1200}$$ Rata kredytu (raty równe)