Trygonometria

Twierdzenie sinusów

W każdym trójkącie stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały i równy 2R.

$$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$
Dwa możliwe położenia B przy stałych A, C, b i αACB₁B₂baaα
\(a\)
Bok [cm]
\(\alpha\)
Kąt naprzeciw boku [°]
\(R\)
Promień okręgu opisanego [cm]
\(b\)
Bok naprzeciw kąta β [cm]
\(\mathcal{T}\)
Wszystkie trójkąty (SSA)

Kalkulator

Wybierz, co chcesz obliczyć, i podaj pozostałe wartości.

Wszystkie warianty wzoru

Ten sam wzór przekształcony tak, by wyznaczyć każdą zmienną.

  • Bok $$a = 2R\sin\alpha$$
  • Promień okręgu opisanego $$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$
  • Kąt naprzeciw boku $$\alpha = \arcsin\frac{a}{2R}$$
  • Wszystkie trójkąty (SSA) $$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a},\quad\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$$

Działa w dowolnym trójkącie, nie tylko prostokątnym. R to promień okręgu opisanego na trójkącie. Wariant SSA: podaj a,b>0 i 0<α<180°, gdzie α leży naprzeciw a. Sprawdzamy β=arcsin(b sinα/a) i 180°−β oraz γ>0. Otrzymasz zero, jeden lub dwa trójkąty, każdy z kompletem boków, kątów i polem. Bardzo cienkie trójkąty mogą przekroczyć precyzję Number; wtedy zgłaszamy ograniczenie zamiast pomijać rozwiązanie. Wzór z arcsin opisuje α z przedziału (0°, 90°]. Dla α < 90° także kąt 180° − α spełnia tę zależność. Kalkulator pokazuje obie dopuszczalne wartości w zbiorze rozwiązań. Jeśli obie gałęzie dają ten sam wynik, wyświetla go tylko raz.

Przykład. Dla \(\alpha = 30\), \(R = 5\), \(b = 5\) otrzymujemy \(a = 5\;\text{cm}\).

Zobacz też w tej kategorii

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$ Cosinus podwojonego kąta $$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ Sinus sumy kątów $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ Sinus podwojonego kąta $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ Cosinus sumy kątów